ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. . Вып.

УДК 531.36:531.38

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}. Ю. Н. Кононов, Т. В. Хомяк

Об эффекте стабилизации неустойчивого вращения твердого тела с жидкостью вращающимся твердым телом

В рамках необходимых условий устойчивости показана возможность стабилизации неустойчивого вращения несвободного и свободного твердого тела с жидкостью вторым вращающимся твердым телом. Проведены численные исследования влияния основных параметров второго твердого тела на эффект стабилизации.

В известной работе С. Л. Соболева [1] установлено, что волчок Лагранжа с полостью, содержащей идеальную жидкость ведет себя довольно неустойчиво. Так, например, волчок с эллиптической полостью по мере уменьшения своей угловой скорости либо сразу окончательно выйдет из устойчивого состояния, либо только один раз перед этим пройдет состояние неустойчивости, вернувшись вслед за этим к спокойному движению. Волчок же с цилиндрической полостью будет вести себя беспокойно. По мере уменьшения угловой скорости он не один раз будет терять устойчивость и вновь ее восстанавливать.

В работах [2, 3] показана возможность стабилизации неустойчивого вращения волчка Лагранжа с цилиндрической полостью при помощи поперечных и цилиндрических перегородок. Однако на практике это не всегда конструктивно может быть выполнено. Другая возможность стабилизации неустойчивого вращения тела с жидкостью состоит во введении второго вращающегося твердого тела, связанного с первым общей точкой и упругим восстанавливающим моментом. Эффект стабилизации неуравновешенного гироскопа Лагранжа вторым вращающимся был обнаружен А. Я. Савченко [4].

В работе А. М. Ковалева [5] показана возможность стабилизации неуравновешенного гироскопа с помощью вращающегося маховика. В дальнейшем эффект стабилизации был подробно исследован в работах учеников А. Я. Савченко [6-9].

1. Стабилизация неустойчивого вращения несвободного твердого тела, содержащего жидкость.

Рис.1

Рассмотрим вращение вокруг неподвижной точки O_{1} волчка Лагранжа, имеющего полость, целиком заполненную идеальной однородной несжимаемой жидкостью. Пусть рассматриваемый волчок (тело S_{1}) имеет общую точку O_{2} со вторым вращающимся твердым телом S_{2}^{0}. Тело S_{1} состоит из твердого тела S_{1}^{0} и идеальной жидкости, целиком заполняющей осесимметричную полость внутри этого твердого тела (рис.1).

Твердые тела S_{1}^{0} и S_{2}^{0} связаны в точке O_{2} сферическим шарниром с упругим восстанавливающим моментом с коэффициентом упругости k (k > 0). Поставим задачу о возможности стабилизации неустойчивого вращения тела S_{1} с помощью вращения тела S_{2}^{0}.

Пусть в невозмущенном движении первое твердое тело S_{1}^{0} и жидкость вращаются как одно целое с угловой скоростью ω_{01} вокруг оси геометрической и динамической симметрии O_{1}O_{2}, а второе твердое

Ю. Н. Кононов, Т. В. Хомяк

тело S_{2}^{0} – с угловой скоростью ω_{02} вокруг оси O_{2}C_{2}. В невозмущенном движении общая точка O_{2} лежит на прямой O_{1}C_{2}, где C_{1} и C_{2} – соответственно центр масс тел S_{1} и S_{2}^{0}.

Рассматриваемая нами механическая система является частным случаем системы связанных твердых тел с полостями, содержащими жидкость (ССТТЖ), исследованной в работах [10, 11]. Следовательно характеристическое уравнение возмущенного движения имеет вид:

| \begin{matrix}F_{1} & μ + k/λ^{2} \\ μ + k/λ^{2} & F_{2} \end{matrix} | = 0.  (1)

Здесь

\begin{aligned}F_{1} & = A′_{1} + \frac{C′_{1}}{λ} + \frac{a_{1}^{∗}g − k}{λ^{2}} − (λ + ω_{01}) ∑_{n=1}^{∞} \frac{E_{n}}{λ + λ′_{n}} , F_{2} = A_{2} + \frac{C′_{2}}{λ} + \frac{a_{2}^{∗}g − k}{λ^{2}} , \\ A′_{1} & = A_{1} + m_{2}s_{1}^{2}, μ = s_{1}a_{2}^{∗}, λ′_{n} = λ̃_{n}ω_{0i}, λ̃_{n} = 1 − λ_{n}/ω_{01}, \\ a_{1}^{∗} & = m_{1}c_{1} + s_{1}m_{2}, a_{2}^{∗} = m_{2}c_{2}, s_{1} = O_{1}O_{2}, c_{i} = O_{i}C_{i}, C′_{i} = C_{i}ω_{0i} i = (1, 2); \end{aligned}

m_{1} и m_{2} – соответственно масса тела S_{1} и твердого тела S_{2}^{0}; A_{i} и C_{i} – соответственно экваториальный и осевой моменты инерции тел S_{1} и S_{2}^{0} относительно точки O_{i} (i = 1, 2).

Коэффициент инерционной связи E_{n} и собственные числа λ_{n} находятся из решения соответствующей краевой задачи и определяются только геометрией полости. Значение этих величин для эллипсоидальной и цилиндрической полостей приведены в [12].

Необходимым условием стабилизации является условие действительности корней характеристического уравнения (1).

Уравнение (1) в случае отсутствия относительного движения жидкости (E_{n} ≡ 0, "замерзшая"жидкость) совпадает с уравнением, полученным и исследованным в работах [7-9].

При k = ∞ (цилиндрический шарнир) уравнение (1) сводится к уравнению

F̃_{1} + F̃_{2} + 2μ = 0,  (2)

где

F̃_{1} = A′_{1} + \frac{C′_{1}}{λ} + \frac{a_{1}^{∗}g}{λ^{2}} − (λ + ω_{01}) ∑_{n=1}^{∞} \frac{E_{n}}{λ + λ′_{n}} , F̃_{2} = A_{2} + \frac{C′_{2}}{λ} + \frac{a_{2}^{∗}g}{λ^{2}} .

Если отсутствует упругий восстанавливающий момент (k = 0) и центр масс второго твердого тела S_{2}^{0} совпадает с общей точкой O_{2} (c_{2} = 0, μ = 0), то характеристическое уравнение (1) распадается на два независимых уравнений и в этом случае отсутствует возможность стабилизации неустойчивого вращения твердого тела с жидкостью вторым вращающимся твердым телом.

Как известно [12], в большинстве практически важных случаев в уравнении (1) достаточно учитывать только основной тон колебания жидкости (n = 1). Это всегда справедливо для эллипсоидальной и софокусно эллипсоидальных полостей, так как из бесконечного спектра собственных частот λ_{n} возбуждается гармоника, соответствующая единственному значению λ_{1} [12].

Если учитывать в уравнении (1) только первую гармонику (n = 1), то это уравнение запишется в виде полинома пятой степени

a_{0}λ^{5} + a_{1}λ^{4} + a_{2}λ^{3} + a_{3}λ^{2} + a_{4}λ + a_{5} = 0,  (3)

где

\begin{aligned}a_{0} & = A_{1}^{∗}A_{2} − μ^{2} > 0, a_{1} = (A′_{1}A_{2} − μ^{2})λ′_{1} + A_{2}C_{1}^{∗} + A_{1}^{∗}ω_{0}, \\ a_{2} & = A_{2}C′_{1}λ′_{1} + g(A_{1}^{∗}a_{2}^{∗} + A_{2}a_{1}^{∗}) − (A_{1}^{∗} + A_{2} + 2μ)k + (A′_{1}λ′_{1} + C_{1}^{∗})ω_{0}, \\ a_{3} & = [g(A′_{1}a_{2}^{∗} + A_{2}a_{1}^{∗}) − (A′_{1} + A_{2} + 2μ)k]λ′_{1} − C_{1}^{∗}k + g(a_{2}^{∗}C_{1}^{∗} + a_{1}^{∗}ω_{0})+ \\ & + (C′_{1}λ′_{1} − k)ω_{0}, \\ a_{4} & = (a_{2}^{∗}g − k)C′_{1}λ′_{1} + [a_{1}^{∗}a_{2}^{∗}g − k(a_{1}^{∗} + a_{2}^{∗})]g + (a_{1}^{∗}g − k)λ′_{1}ω_{0}, \\ a_{5} & = g[a_{1}^{∗}a_{2}^{∗}g − k(a_{1}^{∗} + a_{2}^{∗})]λ′_{1}, \\ A_{1}^{∗} & = A′_{1} − E_{1}, C_{1}^{∗} = C′_{1} − E′_{1}, C′_{1} = C_{1}ω_{01}, E′_{1} = E_{1}ω_{01}, ω_{0} = C_{2}ω_{02}. \end{aligned}  (4)

Условия действительности корней уравнения пятой степени имеют вид [13]

\begin{aligned}d_{1} & = M_{1}^{2} − M_{1}M_{3} > 0, \\ d_{2} & = 4d_{1}d_{10} − 9d_{11} > 0, \\ d_{3} & = d_{2}h_{2} − 2h_{1}^{2} > 0, \\ d_{4} & = d_{3}(4h_{1}h_{3} − h_{2}h_{4}) − 2(2d_{2}h_{3} − h_{1}h_{4})^{2} > 0. \end{aligned}  (5)

Здесь M_{1} = a_{0} > 0, 5M_{2} = a_{1}, 10M_{3} = a_{2}, 10M_{4} = a_{3}, 5M_{5} = a_{4}, M_{6} = a_{5}; d_{10} = 6M_{3}^{2} − 5M_{2}M_{4} − M_{1}M_{5}, d_{11} = M_{2}M_{3} − M_{1}M_{4}, h_{1} = d_{1}(16h̃_{1} − 15h_{25}) − 6h_{23}h_{24}, h_{2} = 8d_{1}h_{35} + 48h_{23}h̃_{2} − 8h_{24}d_{10}, h_{3} = 6h_{35}h_{23} − h_{25}d_{10}, h_{4} = 8d_{1}h_{35} − 3h_{23}h_{25}, h̃_{1} = M_{3}M_{4} − M_{1}M_{6}, h̃_{2} = 6M_{3}^{2} − 5M_{2}M_{4} − M_{1}M_{5}, h_{23} = M_{2}M_{3} − M_{1}M_{4}, h_{24} = M_{2}M_{4} − M_{1}M_{5}, h_{25} = M_{2}M_{5} − M_{1}M_{6}, h_{35} = M_{3}M_{5} − M_{2}M_{6}.

После несложных преобразований можно показать, что система неравенств (5) эквивалентна неравенствам

d̃_{i} > 0,  (6)

где

d̃_{1} = d_{1}, d̃_{2} = d_{2}, d̃_{3} = d_{3}/(2d_{1}), d̃_{4} = d_{4}/(2d_{1}^{2}),

d̃_{3} и d̃_{4} - однородные многочлены соответственно 6 и 8 степени относительно a_{i} (i = \overline{0, 5}).

Стабилизировать вращение твердого тела с жидкостью можно следующими параметрами: ω_{0}, k, A_{2}, m_{2}, c_{2}.

Исследуем влияние основного параметра ω_{0} на возможность стабилизации. Для этого представим

a_{1} = 5(ã_{1}ω_{0} + b_{1}), a_{2} = 10(ã_{2}ω_{0} + b_{2}), a_{3} = 10(ã_{3}ω_{0} + b_{3}), a_{4} = 5(ã_{4}ω_{0} + b_{4}). (7)

Подставив соотношения (7) в неравенства (6), получим

\{ \begin{matrix}d_{12}ω_{0}^{2} + d_{11}ω_{0} + d_{10} > 0, \\ d_{24}ω_{0}^{4} + d_{23}ω_{0}^{3} + ⋯ + d_{21}ω_{0} + d_{20} > 0, \\ d_{36}ω_{0}^{6} + d_{35}ω_{0}^{5} + ⋯ + d_{31}ω_{0} + d_{30} > 0, \\ d_{48}ω_{0}^{8} + d_{47}ω_{0}^{7} + ⋯ + d_{41}ω_{0} + d_{40} > 0, \end{matrix}  (8)

где

d_{12} = ã_{1}^{2} > 0, d_{24} = 5ã_{1}^{2}(3ã_{2}^{2} − 4ã_{1}ã_{3}),
d_{36} = 28ã_{1}ã_{2}ã_{3}ã_{4} − 9ã_{1}^{2}ã_{4}^{2} − 16ã_{1}ã_{3}^{3} − 12ã_{2}^{3}ã_{4} + 8ã_{3}^{2}ã_{2}^{2},
d_{48} = 72ã_{1}ã_{2}ã_{3}ã_{4} − 27ã_{1}^{2}ã_{4} − 32ã_{1}ã_{3}^{3} − 32ã_{2}^{3}ã_{4} + 16ã_{3}^{2}ã_{2}^{2},
ã_{1} = A_{1}^{∗} > 0, 10ã_{2} = A′_{1}λ′_{1} + C_{1}^{∗} > 0, 10ã_{3} = a_{1}^{∗}g − k, 5ã_{4} = (a_{1}^{∗}g − k)λ′_{1}.

При k > ga_{1}^{∗} будем иметь ã_{3} < 0, ã_{4} < 0 и d_{24} > 0. Коэффициенты d_{36} и d_{48} являются кубическими многочленами относительно параметра k с положительными коэффициентами при старших степенях. Таким образом, при достаточно большом упругом восстанавливающем моменте d_{24} > 0, d_{36} > 0 и d_{48} > 0 и существует такое значение ω_{0}, при котором неравенства (8)будут выполнены. Следовательно, при достаточнo больших ω_{0} и k возможна стабилизация неустойчивого вращения твердого тела с жидкостью.

Рассмотрим теперь влияние упругого восстанавливающего момента на возможность стабилизации неустойчивого вращения твердого тела с жидкостью. Для этого представим

a_{2} = 10(ã_{2}k + b_{2}), a_{3} = 10(ã_{3}k + b_{3}), a_{4} = 5(ã_{4}k + b_{4}), a_{5} = ã_{5}k + b_{5}. (9)

Подставив (9) в неравенства (6), получим

\{ \begin{matrix}d_{11}k + d_{10} > 0, \\ d_{23}k^{3} + d_{22}k^{2} + d_{21}k + d_{20} > 0, \\ d_{35}k^{5} + d_{34}k^{4} + ⋯ + d_{31}k + d_{30} > 0, \\ d_{47}k^{7} + d_{46}k^{6} ⋯ + d_{41}k + d_{40} > 0. \end{matrix}  (10)

Здесь

\begin{matrix}d_{11} = −a_{0}ã_{2}, d_{23} = −24a_{0}ã_{2}^{3}, d_{35} = 160a_{0}ã_{2}^{3}(3ã_{2}ã_{4} − 2ã_{3}^{2}), \\ d_{47} = 128a_{0}ã_{2}^{3}(40ã_{3}^{3}ã_{5} − 25ã_{3}^{2}ã_{4}^{2} + 27ã_{2}^{2}ã_{5}^{2} + 50ã_{2}ã_{4}^{3} − 90ã_{2}ã_{3}ã_{4}ã_{5}), \\ 10ã_{2} = −(A_{1}^{∗} + A_{2} + 2μ) < 0, 10ã_{3} = −[(A′_{1} + A_{2} + 2μ)λ′_{1} + C_{1}^{∗} + ω_{0}] < 0, \\ 5ã_{4} = −[(C′_{1} + ω_{0})λ′_{1} + (a_{1}^{∗} + a_{2}^{∗})g] < 0, ã_{5} = −(a_{1}^{∗} + a_{2}^{∗})gλ′_{1} < 0. \end{matrix}  (11)

Из соотношений (11) следует, что d_{11} > 0, d_{23} > 0, а коэффициенты d_{35} и d_{47} являются полиномами соответственно 2-ой и 4-ой степени относительно ω_{0} с положительными коэффициентами при старших степенях. При достаточно больших ω_{0} и k неравенства (10) будут выполнены и, как ранее отмечалось, будет возможна стабилизация неустойчивого вращения твердого тела с жидкостью.

В случае цилиндрического шарнира (k = ∞) система неравенств (10) эквивалентна неравенству

d_{4}ω_{0}^{4} + d_{3}ω_{0}^{3} + d_{2}ω_{0}^{2} + d_{1}ω_{0} + d_{0} > 0,  (12)

где

d_{4} = 3ã_{2}^{2} > 0.

Таким образом, при достаточно большом упругом восстанавливающем моменте и большой угловой скорости вращения второго твердого тела возможна стабилизация неустойчивого вращения несвободного твердого тела с жидкостью.

2. Стабилизация неустойчивого вращения свободного твердого тела, содержащего жидкость. Рассмотрим свободное движение (движение по инерции) вращающего гироскопа Лагранжа с идеальной жидкостью. Пусть точка O_{1} будет не закрепленная, т. е. свободная. Вновь поставим задачу о возможности стабилизации неустойчивого вращения свободного гироскопа Лагранжа с жидкостью вторым вращающимся твердым телом.

Характеристическое уравнение возмущенного движения будет иметь вид (1), где

\begin{aligned}F_{1} & = A′_{1} + \frac{C′_{1}}{λ} − \frac{k}{λ^{2}} − (λ + ω_{01}) ∑_{n=1}^{∞} \frac{E_{n}}{λ + λ′_{n}} , F_{2} = A′_{2} + \frac{C′_{2}}{λ} − \frac{k}{λ^{2}} , \\ A′_{i} & = A_{i} + νc_{i}^{2}, ν = \frac{m_{1}m_{2}}{m_{1} + m_{2}} , μ = νc_{1}c_{2}, c_{1} = C_{1}O_{2}, c_{2} = C_{2}O_{2}, i = (1, 2), \end{aligned} (13)

A_{i} и C_{i} – соответственно главный экваториальный и осевой момент инерции тел S_{1} и S_{2}^{0} относительно их центра масс.

Если отсутствует упругий восстанавливающий момент (k = 0) и центр масс второго тела S_{2}^{0} совпадает с общей точкой O_{2} (c_{2} = 0, μ = 0), то отсутствует возможность стабилизации.

При n = 1 (учет основного тона колебания жидкости) уравнение (1) представляется в виде полинома четвертой степени

a_{0}λ^{4} + a_{1}λ^{3} + a_{2}λ^{2} + a_{3}λ + a_{4} = 0,  (14)

коэффициенты которого определяются по формулам (4), в которых следует положить a_{1}^{∗} = a_{2}^{∗} = 0 и вычислять A′_{i} по формулам (13).

Условия действительности корней уравнения четвертой степени имеют вид [7]

\begin{matrix}d_{1} = N_{2}^{2} − N_{1}N_{3} > 0, \\ d_{2} = 12d_{1}^{2} − N_{1}^{2}(N_{1}N_{5} − 4N_{2}N_{4} + 3N_{3}^{2}) > 0, \\ d_{3} = (N_{1}N_{5} − 4N_{2}N_{4} + 3N_{3}^{2})^{3} − 27(N_{1}N_{3}N_{5} + 2N_{2}N_{3}N_{4} − N_{1}N_{4}^{2}− \\ − N_{2}^{2}N_{5} − N_{3}^{3})^{2} > 0. \end{matrix}  (15)

Здесь

\begin{matrix}N_{1} = a_{0}, 4N_{2} = a_{1} = 4(ã_{1}ω_{0} + b_{1}), 6N_{3} = a_{2} = 6(ã_{2}ω_{0} + b_{2}), \\ 4N_{4} = a_{3} = 4(ã_{3}ω_{0} + b_{3}), N_{5} = a_{4} = ã_{4}ω_{0} + b_{4}. \end{matrix}  (16)

С учетом соотношений (16) неравенства (15) запишутся в виде

\{ \begin{matrix}d_{12}ω_{0}^{2} + d_{11}ω_{0} + d_{10} > 0, \\ d_{24}ω_{0}^{4} + d_{23}ω_{0}^{3} + ⋯ + d_{21}ω_{0} + d_{20} > 0, \\ d_{36}ω_{0}^{6} + d_{35}ω_{0}^{5} + ⋯ + d_{31}ω_{0} + d_{30} > 0. \end{matrix}  (17)

где

d_{12} = ã_{1}^{2} > 0, d_{24} = 12ã_{1}^{4} > 0,
d_{36} = d̃_{21}^{3} − 27d̃_{30}^{2} = ã_{1}^{2}[54(2ã_{1}ã_{3} − ã_{2}^{2})ã_{2}ã_{4} + 4ã_{3}^{2}(9ã_{2}^{2} − 16ã_{1}ã_{3}) − 27ã_{1}^{2}ã_{4}^{2}],
d̃_{21} = 3ã_{2}^{2} − 4ã_{1}ã_{3}, d̃_{30} = 2ã_{1}ã_{2}ã_{3} − ã_{1}^{2}ã_{4} − ã_{2}^{3}, ã_{1} = A_{1}^{∗}/4 > 0,
ã_{2} = (A′_{1}λ′_{1} + C̃_{1}^{∗})/6 > 0, ã_{3} = −(k − C′_{1}λ′_{1})/4, ã_{4} = −kλ′_{1}.

Так как d_{12} > 0, d_{24} > 0, а коэффициент d_{36} является кубическим многочленом относительно параметра k с положительным коэффициентом при старшей степени и при достаточно большом k будет положительным. Следовательно, при достаточно больших k и ω_{0} возможна стабилизация неустойчивого вращения свободного твердого тела, содержащего жидкость.

Рассмотрим теперь влияние упругого восстанавливающего момента на стабилизацию неустойчивого свободного вращения твердого тела с жидкостью. Для этого положим

a_{2} = 6N_{3} = 6(ã_{2}k + b_{2}), a_{3} = 4N_{4} = 4(ã_{3}k + b_{3}), a_{4} = N_{5} = ã_{4}k + b_{4}.  (18)

Подставив соотношения (18) в неравенства (15), получим

\{ \begin{matrix}d_{1} = d_{11}k + d_{10} > 0, \\ d_{2} = d_{22}k^{2} + d_{21}k + d_{20} > 0, \\ d_{3} = d_{35}k^{5} + d_{34}k^{4} + ⋯ + d_{31}k + d_{30} > 0. \end{matrix}  (19)

где

d_{11} = −a_{0}ã_{2} > 0, d_{22} = 9a_{0}^{2}ã_{2}^{2} > 0, 6ã_{2} = −(A_{1}^{∗} + A′_{2} + 2μ) < 0,
d_{35} = 27a_{0}ã_{2}^{3}(3ã_{2}ã_{4} − 2ã_{3}^{2}) = d_{32}^{∗}ω_{0}^{2} + d_{31}^{∗}ω_{0} + d_{30}^{∗}, d_{32}^{∗} = −3a_{0}ã_{2}^{3}/2 > 0,
4ã_{3} = −[(A′_{1} + A′_{2} + 2μ)λ′_{1} + C̃_{1}^{∗} + ω_{0}] < 0, ã_{4} = −(C′_{1} + ω_{0})λ′_{1} < 0.
Так как d_{11} > 0, d_{22} > 0 и d_{32}^{∗} > 0, то при достаточно больших ω_{0} и k неравенства (19)

будут выполнены.

При k = ∞ (цилиндрический шарнир) из системы неравенств (19) следует условие действительности корней d_{35} > 0 или

[(A′_{1} + A′_{2} + 2μ)λ′_{1} + C̃_{1}^{∗} + ω_{0}]^{2} > 4(A_{1}^{∗} + A′_{2} + 2μ)(C′_{1} + ω_{0})λ′_{1}.  (20)

Следует отметить, что условие устойчивости, полученное из (19)совпадает с условием устойчивости, полученным из уравнения (2) для свободной системы (a_{1}^{∗} = a_{2}^{∗} = 0) при n = 1.

В заключение рассмотрим второй предельный случай - отсутствия упругого восстанавливающего момента (k = 0). В отличии от несвободной системы характеристическое уравнение (14) существенно упрощается и вырожлается в кубическое уравнение (a_{4} = 0). Условие действительности корней которого имеют вид

d_{4}ω_{0}^{4} + d_{3}ω_{0}^{3} + d_{2}ω_{0}^{2} + d_{1}ω_{0} + d_{0} > 0.  (21)

Здесь

d_{4} = 4d̃_{40}ã_{1}^{2} − ã_{1}^{2}ã_{2}^{2} = ã_{1}^{2}(3ã_{2}^{2} − 4ã_{1}ã_{3}), d̃_{40} = ã_{2}^{2} − ã_{1}ã_{3},
a_{1} = 3(ã_{1}ω_{0} + b_{1}), a_{2} = 3(ã_{2}ω_{0} + b_{2}), a_{3} = ã_{3}ω_{0},
3ã_{1} = A_{1}^{∗}, 3ã_{2} = A′_{1}λ′_{1} + C̃_{1}^{∗}, ã_{3} = C′_{1}λ′_{1}.

Таким образом, при отсутствии упругого момента стабилизация неустойчивого вращения свободного твердого тела с жидкостью определяется условием (21), а возможность стабилизации условием

3ã_{2} − 4ã_{1}ã_{3} > 0

или

(C_{1}^{∗} + A′_{1}λ_{1})^{2} > 4A_{1}^{∗}C_{1}λ_{1}.  (22)

Известно, что в случае пренебрежимо малой массы эллисоидальной оболочки свободное равномерное вращение этой оболочки, содержащей идеальную жидкость, неустойчиво при 1 < β < 3 (β = c/a, a и c - полуоси эллипсоидальной оболочки, причем c - величина полуоси, направленной вдоль оси вращения) [12].

Возможно ли уменьшить этот интервал неустойчивости вращающимся вторым твердым телом? Для этого достаточно выполнения неравенства (22). Проведя необходимые вычисления получим, что при

\begin{matrix}m̃_{2} = 0, & 1 < & β < 3, \\ m̃_{2} = 0.01, & 1 < & β < 2.981, \\ m̃_{2} = 0.1, & 1 < & β < 2.830, \\ m̃_{2} = 0.5, & 1 < & β < 2.400, \end{matrix}  (23)

где m̃_{2} = 3m_{2}/(4πρa^{3}).

Таким образом, показано уменьшение интервала неустойчивости, что говорит о стабилизации неустойчивого вращения твердого тела с жидкостью вращающимся вторым твердым телом. Из соотношений (23) следует, что эффект стабилизации возрастает при увеличении массы второго тела.

Для подтверждения результатов аналитических исследований по формулам (8), (10), (17) и (19) были проведены численные расчеты для эллипсоидальной полости при следующих значениях параметров: ω_{02} = 0, 10, 10^{2}, 10^{3}; k = 0, 1, 10, 10^{2}, 10^{3}; ω_{01} = 1÷100; β = 0, 02 ÷ 4 (β = c/a); m_{01} = 0; A_{01} = C_{01} = 0; c_{2} = −0, 2 ÷ 0, 2. Второе вращающееся твердое тело полагалось слегка вогнутым (рис. 2, 1), выпуклым (2) или плоским (3) тонким круговым диском с моментами инерции A_{2} и C_{2}. На рис. 2 представлены размеры вогнутого диска (r, R, θ_{0}).

Рис. 2 Здесь

A_{2} = [1 − cos^{4} \frac{θ_{0}}{2} − \frac{1}{2}f(θ_{0})]m_{2}R^{2},

C_{2} = f(θ_{0})m_{2}R^{2},

f(θ_{0}) = \frac{\frac{1}{3} cos^{3} θ_{0} − cos θ_{0} + \frac{2}{3}}{1 − cos θ_{0}} ,

c_{2} = O_{2}C_{2} = R sin^{2} \frac{θ_{0}}{2} (выпуклый диск )

c_{2} = −O_{2}C_{2} = −R sin^{2} \frac{θ_{0}}{2} (вогнутый диск )

Rθ_{0} = r − радиус кругового диска массы m_{2} .

При θ_{0} ≪ 1 A_{2} = \frac{m_{2}r_{2}}{4} , C_{2} = \frac{m_{2}r^{2}}{2} , c_{2} = \frac{r}{4}θ_{0},

т. е. в первом приближении экваториальный и осевой моменты инерции совпадают с плоским диском (R = ∞). В случае плоского кругового диска его центр масс совпадает с точкой O_{2}, а для слегка выпуклого или выгнутого он незначительно изменяется.

Результаты численных расчетов для несвободной системы представлены на рис. 3-6, а для свободной - на рис. 7-10 (c_{2} = 0, m_{1} = const, E_{1} ≠ 0). Области устойчивости заштрихованы.

Рис.3^{k = 1, ω_{02} = 0}  Рис.4^{k = 100, ω_{02} = 0}  Рис.5^{k = 100, ω_{02} = 1000}  Рис.6^{k = 1000, ω_{02} = 1000}

Рис.7^{k = 1, ω_{02} = 0}  Рис.8^{k = 1, ω_{02} = 1000}  Рис.9^{k = 100, ω_{02} = 1000}  Рис.10^{k = 1000, ω_{02} = 1000}

На основании проведенных аналитических и численных исследований можно сделать следующие выводы:

1. Неустойчивое вращение твердого тела с жидкостью возможно стабилизировать вторым вращающимся твердым телом.

2. Стабилизация становится невозможной, если отсутствует упругий восстанавливающий момент и центр масс второго тела совпадает с общей точкой двух тел.

3. С увеличением упругого восстанавливающего момента область неустойчивости уменьшается с образованием небольшой дополнительной области неустойчивости, которая исчезает при дальнейшем увеличении угловой скорости вращения второго твердого тела.

4. При больших угловых скоростях вращения второго твердого тела (ω_{02} > 100 ) и большом упругом восстанавливающем моменте (k > 100) наблюдается эффект, аналогичный действию восстанавливающего момента на рассматриваемую систему связанных твердых тел с жидкостью.

5. Для уравновешенного второго твердого тела (c_{2} < 0) эффект стабилизации возрастает по сравнению с неуравновешенным вторым твердым телом (c_{2} ≥ 0).

1. Соболев С. Л. О движении симметричного волчка с полостью, наполненной жидкостью // ПМТФ. – 1960. – �3. – С 20–55.

2. Кононов Ю. Н. О влиянии перегородок в цилиндрической полости на устойчивость равномерного вращения волчка Лагранжа // Мат. физика и нелин. механика. – 1992. – Вып. 7(51). – С. 33–37.

3. Кононов Ю. Н., Дрынь С. В. Об устойчивости вращения волчка Лагранжа с многослойной жидкостью, разделенной цилиндрическими перегородками // Вiсн. Донецького ун-та. Сер. А: Природничi науки.

– 2001. – �1. – С. 34–39.

4. Савченко А. Я. Устойчивость стационарных движений механических систем. – Киев: Наук. думка, 1977. – 159 с.

5. Ковалев А. М. Устойчивость равномерных вращений тяжелого гиростата вокруг главной оси // Прикл. математика и механика. – 1980. – 44. – Вып. 6. – С. 994-998.

6. Лесина М. Е. О стабилизации покоящегося уравновешенного гироскопа Лагранжа // Механика твердого тела. – 1979. – Вып. 11. – С. 88–92.

7. Вархалев Ю. Н., Савченко А. Я., Светличная Н. В. К вопросу стабилизации покоящегося неуравновешенного гироскопа Лагранжа / Механика твердого тела. – 1982. – Вып. 14. – С. 105–109.

8. Светличная Н. В. Об эффекте стабилизации покоящегося неуравновешенного гироскопа вторым вращающимся // Механика твердого тела. – 1989. – Вып. 21. – С. 74–76.

9. Коваленко Н. В., Шепеленко О. В. Эффект стабилизации в системе гироскопов Лагранжа // Тр. Международной конф. "Математика в индустрии", Таганрог: Таганрог. гос. пед. ин-т, 1998. – С. 84–86.

10. Кононов Ю. Н. О движении системы двух твердых тел с полостями, содержащими жидкость // Механика твердого тела. – 1997. – Вып. 29. – С. 76–85.

11. Кононов Ю. Н. О движении системы связанных твердых тел с полостями, содержащими жидкость // Механика твердого тела. – 2000. – Вып. 30. – С. 207–216.

12. Докучаев Л. В., Рвалов Р. В. Об устойчивости стационарного вращения твердого тела с полостью, содержащей жидкость // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. – 1973. – �2. – С. 6–14.

13. Ручкин К. А. Устойчивость равномерных вращений и стабилизация движений системы двух твердых тел: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук: 01.02.01/ ИПММ НАНУ. - Донецк, 1999. - 14 с.

14. Kononov Yu. N., Khomyak T. V. Stabilization by rotating rigid bodies for unstable rotation of a rigid body with cavities containing a fluid // ICTAM04 Abstracts and CD-ROM Proceedings. Warsaw, Poland: IPPT PAN, Warszawa, 2004. – P. 320.